Cho đường tròn (O) có 2 đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M khác B, C . Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của AM với CD và BC.
1, Chứng minh rằng tứ giác BMPO nội tiếp và QM . QA = QB . QC
2, Gọi E và F lần lượt là giao điểm của MD với AB, BC. H là trung điểm của FC. Chứng minh rằng tứ giác CMFP nội tiếp và \(CP=\sqrt{2}HF\)
3, Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm Q đến 3 cạnh của tam giác EMC là bằng nhau
Cho đường tròn (O;R) dây BC cố định(BC<2R) , điểm H nằm giữa B và C sao cho \(0< BH< \frac{BC}{2}\). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với BC cắt cung lớn BC của đường tròn (O;R) tại A. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của B, C trên đường kính AD của đường tròn (O;R).
a, Chứng minh tứ giác AEHB nội tiếp và HE _|_ AC.
b, Gọi K và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABH và HEF . Chứng minh KI đi qua trung điểm của BC.
c, Chứng minh : HF // BD và cos \(\widehat{BAC}=\frac{OI}{R}\).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có BC = 2R và AB < AC. Đường thẳng xy là tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O;R) lần lượt cắt đường thẳng xy ở D và E. Gọi F là trung điểm của đoạn DE.
a) Chứng minh ADBO là tứ giác nội tiếp
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FC với đường tròn (O;R). Chứng minh: ∠CED = 2∠AMB
c) Tính tích MC.BF theo R.
Cho nửa đường tròn(O) đường kính AB, C là điểm chính giữa của cung AB và 1 điểm M trên cung CB . Kẻ đường cao CH của tam giác ACM.
a, Chứng minh tam giác HCM vuông cân và OH là tia phân giác của góc COM.
b, Gọi giao điểm của tia OH với CB là I và giao điểm thứ 2 của đường thẳng MI với nửa đường tròn(O) là D chứng minh MC//BD
GIÚP MÌNH VỚI!
1. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d(M khác B),AM cắt đường tròn tại C(C khác A).Kẻ CH vuông góc với AB tại H.
a. Cm CH//MB
b. Cm BC vuông góc với AM và MA.MC=MB2
c. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại K cắt MB tại I.Chứng minh IC là tiếp tuyến tại C của đường tròn(O)
d. Tứ giác OBIC là hình gì khi diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.
2.Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R.Từ trung điểm H của đoạn OB kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắtđường tròn tâm O tại C và D.
a. Chứng minh HC=HD và tứ giác ODBC là hình thoi.
b. Tính số đo góc BOC.
c. Gọi M là điểm đối xứng của O qua B. Chứng minh MC là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O).Tính MC theo R.
d. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt CD ở I. Chứng minh: HI.HD+HB.HM=R2
Cho tam giác ABC kẻ đường cao AH. Gọi C' là điểm đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B'C' với AB, AC theo thứ tự là I và K. Chứng minh rằng BK, CI là các đường cao của tam giác ABC.
1.Cho đa giác đều A1A2...A1990 có 1990 cạnh đều bằng 1. M là 1 điểm bất kì trên đường tròn ngoại tiếp đa giác . Gọi khoảng cách từ M đến các đỉnh của đa giác lần lượt là a1,a2, ... ,a1990. Chứng minh rằng \(a^2_1+a_2^2+...+a_{1990}\ge1990\).
2. Chứng minh rằng với mọi tam giác ta luôn có: \(R\ge2r\)(R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp)
3. Cho đường tròn đường kính bằng 2 và n điểm A1,A2,...,An trên mặt phẳng . Chứng minh rằng ta có thể tìm được 1 điểm M trên đường tròn sao cho MA1+MA2+...+MAn \(\ge n\).
4. Gỉa sử a,b,c là các số dương và với số tự nhiên n bất kì có thể lập được 1 tam giác mà độ dài các cạnh lần lượt là an,bn,cn. Chứng minh rằng 2 trong 3 số a,b,c phải bằng nhau.
5. Trên mặt bàn đặt 50 cái đồng hồ có kim giờ và kim phút. Chứng minh rằng có 1 thời điểm nào đó tổng khoảng cách từ tâm mặt bàn đến các điểm đầu của kim phút lớn hơn tổng khoảng cách từ tâm mặt bàn đến tâm của các đồng hồ.( Xem mỗi đồng hồ là 1 hình tròn vẽ trên mặt bàn).
Cho đương tròn tâm O, đường kính BC cố định và điểm A thuộc đường tròn (O). kẻ AH vuông góc BC tại H. Gọi I,K theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AHB và AHC. Đường thẳng IK cắt AB tại M và cắt AC tại N.
a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân
b) Xác định vị trí của điểm A để tứ giác BCNM nội tiếp
c) Chứng minh diện tích tam giác AMN nhỏ hơn hoặc bằng 1/2 diện tích tam giác ABC
Câu 1: Tìm n để cặp số (2;1) là nghiệm của hệ phương trình\(\left\{{}\begin{matrix}2n+y=5\\nx+3y=14\end{matrix}\right.\)
Câu 2:Tính: \(\sqrt{\left(1+\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)
Câu 3:Tìm m và n để hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3\\nx+my=-2\end{matrix}\right.\)nhận cặp số (-2;1) là nghiệm
Câu 4: Cho tam giác ABC biết độ dài cạnh AB=18cm ; AC=24cm; BC=30cm. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn (A;14,4cm)
Câu 5:Cho tam giác ABC nhọn , đường cao AH. Vẽ các đường tròn đường kính HB, HC lần lượt cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh rằng: AM.AB=AN.AC
Câu 6: Cho tam giác ABC, vẽ đường cao AH ( điểm H nằm giữa hai điểm B và C). Biết \(AH^2=HB.HC\). Chứng minh đường thẳng AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán kính BA.
Câu 7:Cho đường thẳng (d) y=(m-5)x+7 (m là tham số) và điểm A (2;4). Biết đường thẳng (d) song song với đường thẳng OA(với O là gốc tọa độ). Tìm giá trị m
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E. Dây DE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. c/m
a, tam giác AMN là tam giác cân
b, các tam giác EAI và DAI là những tam giác cân
c, tứ giác AMIN là hình thoi