Question

Cho \(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0\). Chứng minh rằng

\(\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)

Answer 1

Lời giải:
Ta có:

\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\Rightarrow \frac{a}{b-c}=\frac{-b}{c-a}+\frac{-c}{a-b}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a}{b-c}=\frac{-b(a-b)-c(c-a)}{(a-b)(c-a)}=\frac{b^2+ca-c^2-ab}{(a-b)(c-a)}\)

\(\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^2}=\frac{b^2+ca-c^2-ab}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{b}{(c-a)^2}=\frac{c^2+ab-a^2-bc}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)

\(\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{a^2+bc-b^2-ac}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)

Cộng theo vế các đẳng thức vừa thu được ta có:

\(\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{b^2+ac-c^2-ab+c^2+ab-a^2-bc+a^2+bc-b^2-ac}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\)

Ta có đpcm.