Question

Cho \(\Delta\)ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi DE lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB và AC. Chứng minh:

a) A, D, E thẳng hàng

b) Tứ giác BDEC là hình thang và góc DHE = 1v

Answer 1

Gọi I là giao điểm của HD và AB

K là giao điểm của HE và AC.

a)

H đối xứng D qua AB = > AB là đường trung trực của HD

H đối xứng E qua AC = > AC là đường trung trực của HE

Xét tam giác ABD và tam giác ABH có:

AB chung

BD = BH (AB là đường trung trực của HD)

DA = HA (AB là đường trung trực của HD)

=> Tam giác ABD = Tam giác ABH (c.c.c)

=> BAD = BAH (2 góc tương ứng)

Xét tam giác ACE và tam giác ACH có:

AC chung

CE = CH (AC là đường trung trực của HE)

EA = HA (AC là đường trung trực của HE)

=> Tam giác ACE = Tam giác ACH (c.c.c)

=> CAE = CAH (2 góc tương ứng)

Ta có:

DAH + HAE = DAB + BAH + HAC + CAE = BAH + BAH + HAC + HAC = 90⁰ + 90⁰ = 180⁰

=> DAH và HAE kề bù

=> AD và AE là 2 tia đối

=> A, D, E thẳng hàng

b)

ADB = AHB (Tam giác ABD = Tam giác ABH)

mà AHB = 90⁰

=> ADB = 90⁰

=> AD _I_ DB (1)

AEC = AHC (Tam giác ACE = Tam giác ACH)

mà AHC = 90⁰

=> AEC = 90⁰

=> AE _I_ EC (2)

(1) và (2)

=> DB // EC

=> BDCE là hình thang

HIA = IAK = AKH = 90⁰

=> AIHK là hcn

=> DHE = 1v

Answer 2

Giải

a) Ta có: H và D đối xứng qua AB (gt)

=> AD = AB

=> \(\Delta\)ADH cân tại A

=> góc DAB = góc BAH

Tương tự chứng minh được

góc HAC = góc CAE

=> góc DAB + góc CAE = góc BAH + góc HAC = góc BAC = 1v

=> góc DAB + góc BAC + góc CAE = 2v

Hay góc DAE = 2V => D, A, E thẳng hàng

b) Dễ dàng chứng minh \(\Delta\)ABH = \(\Delta\)ABD

=> góc ADB = góc AHB = 1v => BD \(\perp\) DE

Tương tự góc AEC = góc AHC = 1v => CE \(\perp\)DE

=> BD // CE => BDEC là hình thang

Từ chứng minh trên => DH \(\perp\) AB

Mà AB // HE (cùng \(\perp\) AC) => DH \(\perp\) HE hay góc DHE = 1v