Question

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A,đường cao AH. Kẻ HM\(\perp\)AB(M\(\in\)AB); HN\(\perp\)AC(N\(\in\)AC).Chứng minh rằng :

a) AM.AB=AN=AC

b)HB.HC=MA.MB+NA.NC

c)\((\frac{AB}{AC})^2\)=\(\frac{HB}{HC}\)

Answer 1

a) Ta có tứ giác MHNA là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

mà \(\widehat{AHN}=\widehat{ACH}\) ( cùng phụ với \(\widehat{HAN}\) )

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\)

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\left(cmt\right)\\\widehat{MAN}chung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AM.AB=AN.AC\left(đpcm\right)\)

b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H, \(MH\perp AB\) có:

\(MH^2=MA.MB\left(1\right)\)

cmtt: \(NH^2=NA.NC\left(2\right)\)

Ta lại có: \(HB.HC=AH^2=MN^2\)( 2 đường chéo bằng nhau) (3)
Xét \(\Delta MHN\) vuông tại H có
\(\Rightarrow MH^2+HN^2=MN^2=AH^2\left(4\right)\)

Từ (1),(2),(3) và (4) \(\Rightarrow HB.HC=MA.MB+NA.NC\left(đpcm\right)\)

c) Có \(HB=\frac{AC^2}{BC}\)

\(HC=\frac{AC^2}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{BH}{HC}=\frac{AB^2}{BC}:\frac{AC^2}{BC}=\frac{AB^2}{AC^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)