Cho \(\Delta\) ABC có ba góc nhọn, vẽ 3 đường cao AD, BE, CF ( D \(\in\) BC, E \(\in\) AC, F \(\in\) AB ) cắt nhau tại H.
a) C/m \(\Delta\)HAF \(\sim\) \(\Delta\) HCD
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng HA, HB, HC. C/m \(\Delta MNP\sim\Delta ABC\) và tính diện tich của tam giác MNP theo diện tích của tam giác ABC.
Xét ∆HAF và ∆HCD:
\(\widehat{HFA}=\widehat{HDC}=90^o\)
\(\widehat{AHF}=\widehat{CHD}\) (2 góc đối đỉnh)
=> ∆HAF~∆HCD(g.g)
b) Xét ∆AHB có: M là trung điểm của AH
N là trung điểm của HB
=> MN là đường trung bình của ∆AHB
=>MN//AB và \(MN=\dfrac{1}{2}AB\)
=> \(\widehat{HMN}=\widehat{BAM}\) (2 góc đồng vị)
Tương tự ở ∆AHC ta được: \(MP=\dfrac{1}{2}AC\) và \(\widehat{HMP}=\widehat{CAM}\)
Ta có: \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}+\widehat{CAD}=\widehat{NMH}+\widehat{PMH}=\widehat{NMP}\)
\(\dfrac{MN}{MP}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB}{\dfrac{1}{2}AC}=\dfrac{AB}{AC}\)
Xét ∆MNP và ∆ABC có:
\(\widehat{NMP}=\widehat{BAC}\left(cmt\right)\)
\(\dfrac{MN}{MP}=\dfrac{AB}{AC}\left(cmt\right)\)
=> ∆MNP~∆ABC
Ta có: \(\dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{MN}{AB}\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
=> \(S_{MNP}=\dfrac{1}{4}S_{ABC}\)