\(\frac{x^3}{x+y}=x^2-\frac{x^2y}{x+y}\ge x^2-\frac{x^2y}{2\sqrt{xy}}=x^2-\frac{1}{2}\sqrt{x^2.xy}\ge x^2-\frac{1}{4}\left(x^2+xy\right)=\frac{3}{4}x^2-\frac{1}{4}xy\)
Làm tương tự và cộng vế với vế:
\(A\ge\frac{3}{4}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{1}{4}\left(xy+yz+zx\right)\ge\frac{3}{4}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{1}{4}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(A\ge\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\frac{3}{2}\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(B=\sqrt{x^2+xyz}+\sqrt{y^2+xyz}+\sqrt{z^2+xyz}+9\sqrt{xyz}\)
Cho x;y;z là các số thực dương thỏa mãn : xyz=1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A=\(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)
cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=3. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\)
Hóng cao nhân II
Cho 3 số thực dương x + y + z = 9
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = \(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{y^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3}{z^2+zx+x^2}\)
Cho x,y,z là các số dương và xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{xz}+x}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy+yz+zx=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{3x+3y+3z}{\sqrt{6\left(x^2+5\right)}+\sqrt{6\left(y^2+5\right)}+\sqrt{6\left(z^2+5\right)}}\)
Cho ba số dương x,y,z thoả mãn: \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=2\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz
Cho x, y,z là 3 số thực dương thoả mãn đk xyz=1
Chmr: \(\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{1+y^3+z^3}+\frac{1}{1+z^3+x^3}\le1\)
cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x3+y3+z3=8
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H=\(\frac{x^2+y^2}{xy\left(x+y\right)^3}+\frac{y^2+z^2}{yz\left(y+z\right)^3}+\frac{z^2+x^2}{zx\left(z+x\right)^3}\)