Question

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện : a² +b²+ c² =3 và a+b+c +ab+ bc+ ca=6

Tính giá trị biểu thức :\(A=\dfrac{a^{30}+b^4+c^{1975}}{a^{30}+b^4+c^{2017}}\)

Answer 1

Ta có:

\(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+ac+bc\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab+ac+bc\le\dfrac{2.3}{2}=3\) (1)

Lại có: \(a^2+1+b^2+1+c^2+1\ge2a+2b+2c\)

\(\Rightarrow a+b+c\le\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{2}=3\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

\(a+b+c+ab+ac+bc\le6\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{1^{30}+1^4+1^{1975}}{1^{30}+1^4+1^{2017}}=\dfrac{3}{3}=1\)