Question

cho các số dương x,y,z là các số thực thỏa mãn xyz=1

CMR: \(\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{xy+yz+zx}\)

Answer 1

Đây là bài của thầy Nghiệp post hôm qua , mik cop luôn ( nếu bn biết rồi thì thôi :D )

Answer 2

Cách 2 : ( cái này áp dụng trực tiếp :D )

Ta có : \(\left(xy+yz+xz\right)^2=x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xyz\left(x+y+z\right)\ge xyz\left(x+y+z\right)+2xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\left(x+y+z\right)\)

( áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) )

Lại có : \(\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{3}\ge2\sqrt{\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3xyz\left(x+y+z\right)}}\ge2\sqrt{\frac{1}{\left(xy+yz+xz\right)^2}}=\frac{2}{xy+yz+xz}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Answer 3

Khôi Bùi Giang Thủy Tiên