Question

Cho các số dương a,b thỏa mãn ĐK ab = 1. Tìm GTNN :

A = ( a + b + 1)( a² + b²) + \(\dfrac{4}{a+b}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cô - Si cho các số dương , ta có :

\(a^2+b^2\) ≥ \(2ab=2\) ( Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 )

Do đó : \(A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{4}{a+b}\) ≥ \(2\left(a+b+1\right)+\dfrac{4}{a+b}\)

⇔ \(A\) ≥ \(2+2\left(a+b\right)+\dfrac{4}{a+b}\)

⇔ \(A\) ≥ \(2+\left(a+b\right)+\left[\left(a+b\right)+\dfrac{4}{a+b}\right]\)

⇔ \(A\) ≥ \(2+2\sqrt{ab}+2\sqrt{\left(a+b\right).\dfrac{4}{a+b}}=2+2+2\sqrt{4}=8\)

⇒ \(A_{Min}=8\) ⇔ a = b = 1