Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng engel ta có :
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
Cho x,y,z là các số thực khác 1 thoả mãn xyz=1 . Chứng minh rằng
\(\dfrac{x^2}{\left(x-1\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(y-1\right)^2}+\dfrac{z^2}{\left(z-1\right)^2}\ge1\)
Jup mik vs nha mik can gap lam
Cho a,b,c là các số dương.
a) CMR: \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)
b) Giả sử abc=1. Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\)
Bài 1: Cho a,b,c là những số dương thỏa mãn: a+b+c=3
CMR: \(\dfrac{a^2}{a+2b^3}+\dfrac{b^2}{b+2c^3}+\dfrac{c^2}{c+2a^3}\ge1\)
Bài 2: Cho a, b, c thỏa mãn: ab+bc+ca=3
CMR: \(\dfrac{a}{2b^3+1}+\dfrac{b}{2c^3+1}+\dfrac{c}{2a^3+1}\ge1\)
Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+3b\)
Dấu = xảy ra khi a=b=2c
Cho cac so a,b,c thoa man: a+b+c=\(\dfrac{3}{2}\)
CMR: \(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{3}{4}\)
Bài 1: a, b, c là 3 cạnh của tam giác. CMR:
\(\dfrac{a^2}{b+c-a}+\dfrac{b^2}{c+a-b}+\dfrac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c\)
Bài 2: a, b là số dương. CMR:
\(ab+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge a+b+1\)
Bài 3: a,b,c>0 thỏa mãn: (a+c)(b+c)=1. CMR:
\(\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(a+c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b+c\right)^2}\ge4\)
Cho 3 số thực dương a;b;c
\(CMR:\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\ge\dfrac{a+b+c}{5}\)
Cho a,b,c>0 và a2+b2+c2 =3
CMR \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)\) ≥ 15/2
Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện: \(a^2+b^2+c^2=1\).
CMR: \(\dfrac{a^2}{1+2bc}+\dfrac{b^2}{1+2ac}+\dfrac{c^2}{1+ab}\ge\dfrac{3}{5}\)
Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\) . CMR : \(\sqrt[3]{\dfrac{a}{b\left(b+2c\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{b}{c\left(c+2a\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{c}{a\left(a+2b\right)}\ge\dfrac{3}{\sqrt[3]{3}}}\)
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: abc=1 và \(a^3>36\). CMR: \(\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca\)