Question

Cho a,b,c là các số dương.

a) CMR: \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)

b) Giả sử abc=1. Tìm GTLN của biểu thức:

\(P=\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\)

Answer 1

a) Điều phải chứng minh tương đương với:

\(a^3+b^3-a^2b-b^2a\ge0\\ \Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\left(luon.dung\right)\)

Dấu = xảy ra khi a=b

b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a ta có:

\(\dfrac{1}{a^3+b^3+1}\le\dfrac{1}{a^2b+b^2a+abc}=\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\\ =\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\dfrac{c}{a+b+c}\left(do.abc=1\right)\)

Tương tự : \(\dfrac{1}{b^3+c^3+1}\le\dfrac{a}{a+b+c};\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\le\dfrac{b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Dấu = xảy ra  <=> a=b=c=1