a) Ta có: A=|x-1|+|x-4|
\(=\left|x-1\right|+\left|4-x\right|\ge\left|x-1+4-x\right|=\left|3\right|=3\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\left(x-1\right)\left(4-x\right)\ge0\)
Trường hợp 1: (x-1)(4-x)>0
\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-1>0\\4-x>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1< 0\\4-x< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>1\\x< 4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 1\\x>4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}1< x< 4\\4< x< 1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow1< x< 4\)
Trường hợp 2: (x-1)(4-x)=0
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\4-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=4\end{matrix}\right.\)
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=|x-1|+|x-4| là 3 khi \(1\le x\le4\)