Question

Cho biểu thức : A=\(\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}\)

a/ Tìm tập xác định của biểu thức A

b/ Rút gọn biểu thức A

c/Chứng minh rằng A> 0 với mọi x \(\ne\) 1

d/Tìm x để A đạt GTLN, tìm GTLN đó

Answer 1

a, ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

b, Ta có : \(A=\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}\)

=> \(A=\left(\frac{x+2+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-x-\sqrt{x}-1}{x\sqrt{x}-1}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{x}-1}\right)\)

=> \(A=\left(\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}-1}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{x}-1}\right)\)

=> \(A=\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

=> \(A=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)

c, Ta có : \(A=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{2}{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\)

Ta thấy \(\frac{2}{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}>0\forall x\ne1\)