Question

Cho biểu thức A=\(\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\)

a) Tìm tập xác định của biểu thức A

b) Rút gọn biểu thức

c) CMR: A>0 với mọi x\(\ne\)1

d) Tìm x để A đạt GTLN,tìm GTLN đó

Giúp với ạ >< Mình đang cần gấp :(

Answer 1

\(M=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}\right)\div\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\)

(ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\))

\(=\left[\dfrac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right]\times\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{\left(x+2\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\times\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(M=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 0