Question

Cho biết \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\) và a,b,c khác 0

Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)

Answer 1

\(\text{Ta có: }\)\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca=0\Rightarrow-ab=bc+ca\)

\(VT=\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{b^3c^3+a^3b^3+a^3c^3}{\left(abc\right)^3}\)

\(=\dfrac{\left(bc+ca\right)^3-3abc^2\left(bc+ca\right)+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}\)

\(=\dfrac{\left(-ab\right)^3+3\left(abc\right)^2+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{\left[-\left(ab\right)^3+\left(ab\right)^3+3\left(abc\right)^2\right]}{\left(abc\right)^3}\)

\(=\dfrac{3\left(abc\right)^2}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{3}{abc}=VP\)

Answer 2

Bạn tham khảo tại đây:

Câu hỏi của Hoàng Tuấn - Toán lớp 8 | Học trực tuyến