Cho BC là một dây cung của (O) bán kính R (BC ≠ 2R). Một điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tâm O luôn nằm trong ΔABC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.
Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF.
a. Chứng minh AH = 2.MO
b. Chứng minh R.AN = AM. OM
c. Tìm vị trí điểm A để chu vi tam giác DEF có giá trị lớn nhất
a) Gọi P là trung điểm của BH, Q là trung điểm của AB.
Ta có MP // CH và OP // CH (bạn tự chứng minh) nên MP // OP
Tương tự, QP // OM
Do đó tứ giác MPQO là hình bình hành.
Do đó OM = PQ
Từ đây thì dễ rồi
b) Mk chỉ gợi ý thoy. Vì phần này hơi dài.
Kẻ đường kính AX. Khi đó bạn sẽ chứng minh được: \(\widehat{OAB}=\widehat{CAH}\)bằng TG đồng dạng.
Do AEF và ABC đồng dạng và M, N lần lượt là tđ của 2 cạnh tương ứng BC, EF nên c/m đc: \(\frac{AN}{AE}=\frac{AM}{AB}or\frac{AN}{AM}=\frac{AE}{AB}\)
Ta chỉ cần c/m \(\frac{OM}{OA}=\frac{OM}{R}=\frac{AN}{AM}=\frac{AE}{AB}\)
Hay \(\frac{AH}{OA}=\frac{AE}{AQ}or\frac{AH}{AE}=\frac{OA}{AQ}\)
Đến đây dễ rồi
c) Ta thấy \(\widehat{BAC}\) là hằng nên tỉ số \(\frac{AB}{AE}\) cũng là hằng.
Ta có: \(\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{AE}=const\) mà BC cố định nên EF cố định.
Lại có: \(\widehat{EDF}=180^o-\widehat{CDE}-\widehat{BDF}=180^o-2\widehat{BAC}=const\)
Tam giác DEF có góc D cố định, cạnh EF cố định nên chu vi tg lớn nhất khi và chỉ khi nó cân tại D. Hay A nằm ở chính giữa cung BC.