\(1=a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\)
\(\Rightarrow-\sqrt{3}\le a+b+c\le\sqrt{3}\)
\(a+b+c=-\sqrt{3}\) khi \(a=b=c=-\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(a+b+c=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=2, chứng minh rằng:\(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+a+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+a+b+c}\le\sqrt{2}\)
Cho 3 số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=2, chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{a}}{1+a}+\dfrac{\sqrt{b}}{1+a+b}+\dfrac{\sqrt{c}}{1+a+b+c}\le2\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab-2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4+c^3+ac+2}}\le\sqrt{3}\)
Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn \(a+b+c\le\sqrt{3}\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}\)
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=1.
CMR: P= \(\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\)≤ \(\dfrac{3}{2}\)
Bài 1: Với mọi số x, y. Chứng minh rằng:
a) \((x+y)^2-xy+1\ge(x+y)\sqrt{3}
\)
b) \(x^2+5y^2-4xy+2x-6y+3>0\)
Bài 2: Với mọi số thực x, a. Chứng minh rằng:
\(x^4+2x^3+(2a+1)x^2+2ax+a^2+1>0\)
Bài 3: Cho \(a, b, c, d \in R\) và \(b< c < d\). Chứng minh rằng:
a) \((a+b+c+d)^2>8(ac+bc)\)
b) \((a^2-b^2)(c^2-d^2)\le(ac-bd)^2\)
Bài 4: Cho các số a, b, c, d, p, q thỏa mãn điều kiện: \(p^2+q^2-a^2-b^2-c^2-d^2>0\). CMR:
\((p^2-a^2-b^2)(q^2-c^2-d^2)\le(pq-ac-bd)^2\)
Bài 5: \((a_1b_1+a_2b_2)^2\le(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\) dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 6: Cho a>0. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a+\sqrt{a+....+\sqrt{a}}}<\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\)
Bài 7: \(y=\dfrac{x+1}{x^2+x+1}\). Tìm cực trị của y.
Bài 8: Cho \(0\le x, \) \(y\le1 \)và \(x+y=3xy\). CMR: \(\dfrac{3}{9}\le \dfrac{1}{4(x+y)}\le \dfrac{3}{8}\)
Bài 9: Cho \(0\le x, \)\(y\le1 \). CMR: \((2^x+2^y)(2^{-x}+2^{-y})\ge \dfrac{9}{2}\)
Bài 10: Ba số thực a, b, c thỏa: \(a^2+b^2+c^2=2\), \(ab+bc+ca=1\) CMR: \(a,b,c \in [\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{3}]\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=abc. Chứng minh rằng \(\frac{\sqrt{1+a^2}}{a}+\frac{\sqrt{1+b^2}}{b}-\sqrt{1+c^2}< 1\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\sqrt{3}\)
Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện a=b+c
Chứng minh rằng \(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\) là một số hữu tỉ