Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\ge\dfrac{2a-b}{2}\)
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương
\(b\left(a-b\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Tương tự ta có
\(\dfrac{b^3}{b^2+c^2}\ge\dfrac{2b-c}{2};\dfrac{c^3}{a^2+b^2}\ge\dfrac{2c-a}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{1}{2}\)
GTNN là \(\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Cho 3 số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=2.\left(a+b+c\right)+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Cho 3 số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=2.\left(a+b+c\right)+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{a\left(b^2+bc+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+ca+a^2\right)}+\dfrac{1}{c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn ab+ac+bc=1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{a+b+c-abc}\)
xét ba số thực a,b,c thỏa mãn 0 ≤ a,b,c ≤ 2 và a+b+c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = a3+ b3+ c3 + \(\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^3+8}{ab+bc+ca}\)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Tìm GTLN của biểu thức
\(P=\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\)
cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\dfrac{1}{2a-a^2}+\dfrac{1}{2b-b^2}+\dfrac{1}{2c-c^2}+3\)
Cho 3 số thực a,b,c dương và thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm GTNN của biểu thức: \(A=\dfrac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+8b^3}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\)
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn: ab+bc+ca=3abc
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\dfrac{a^3}{c+a^2}+\dfrac{b^3}{a+b^2}+\dfrac{c^3}{b+c^2}\)
