Question

Cho \(a;b;c\ge\dfrac{4}{3}\) thỏa mãn \(a+b+c=6\)

Tìm min: \(A=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\)

Answer 1

Lời giải:

Xét:

$\frac{a}{a^2+1}-\left(\frac{16}{25}-\frac{3}{25}a\right)=\frac{(a-2)^2(3a-4)}{25(a^2+1)}\geq 0$ với mọi $a\geq \frac{4}{3}$

$\Rightarrow \frac{a}{a^2+1}\geq \frac{16}{25}-\frac{3}{25}a$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, suy ra:

$A\geq \frac{48}{25}-\frac{3}{25}(a+b+c)=\frac{6}{5}$

Vậy $A_{\min}=\frac{6}{5}$.

Giá trị này đạt tại $a=b=c=2$