Nghỉ lâu, giờ vào bài :v
Ta có : a,b,c,d >0
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b+c}>\dfrac{a}{a+b+c+d}\)
\(\dfrac{b}{b+c+d}>\dfrac{b}{a+b+c+d}\)
\(\dfrac{c}{c+d+a}>\dfrac{c}{c+d+a+b}\)
\(\dfrac{d}{d+a+b}>\dfrac{d}{d+a+b+c}\)
Cộng cả 4 vế , ta được :
\(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=\dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)Vậy \(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}>1\left(1\right)\)
Ta lại có : \(\dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+c}\)
\(\dfrac{b}{b+c+d}< \dfrac{b}{b+d}\)
\(\dfrac{c}{c+d+a}< \dfrac{c}{c+a}\)
\(\dfrac{d}{d+a+b}< \dfrac{d}{d+b}\)
Cộng 4 vế , ta được :
\(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}< \dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+d}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{d}{b+d}=\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}\right)+\left(\dfrac{b}{b+d}+\dfrac{d}{b+d}\right)=\left(\dfrac{a+c}{a+c}\right)+\left(\dfrac{b+d}{b+d}\right)=1+1=2\)
Vậy \(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}< 2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)=> đpcm
Bạn ơi đây là Tiếng Anh mà chứ đâu phải Toán
Áp dụng bất đẳng thức , ta có:
VT[a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b)]≥(a+b+c+d)2
Ta cần chứng minh:
(a+b+c+d)2≥2(ab+bc+cd+da+2ca+2bd)⇔a2+b2+c2+d2≥2ca+2bd⇔(a−c)2+(b−d)2≥0