Question

Cho a,b,c thỏa điều kiện : \(\left\{{}\begin{matrix}c>0\\\left(c+a\right)^2< ab+bc-2ac\end{matrix}\right.\). Chứng minh \(ax^2+bx+c=0\)luôn có nghiệm

Answer 1

Lời giải:

Với $a=0$ thì pt trở thành: \(bx+c=0\)

\((c+a)^2< ab+bc-2ac\Leftrightarrow c^2< bc\Rightarrow c(c-b)< 0\Rightarrow 0< c< b\)

PT luôn có nghiệm \(x=\frac{-c}{b}\)

Với $a\neq 0$

Nếu \(ac<0\Rightarrow b^2-ac>0\Leftrightarrow \Delta>0\) nên pt \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm

Nếu \(ac>0, c>0\Rightarrow a>0\)

Ta có: \((c+a)^2< ab+bc-2ac< ab+bc\) do \(ac>0\)

\(\Leftrightarrow (c+a)^2< b(a+c)\)

Vì \(a>0, c>0\Rightarrow a+c>0\), chia 2 vế cho $a+c$ thu được:

\(0< c+a< b\Rightarrow \Delta'=b^2-4ac>(c+a)^2-4ac=(a-c)^2\geq 0\)

Do đó pt \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm