Cho các số thực a,b,c thay đổi thỏa mãn điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\abc=1\end{matrix}\right.\)
Chứng minh rằng:
\(A=\frac{a^4b}{a^2+1}+\frac{b^4c}{b^1+1}+\frac{c^4a}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c\(\le\frac{3}{2}\)
Tính GTNN của P=\(\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
cho a,b,c>0 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le16\left(a+b+c\right)\). Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(a+b+2\sqrt{a+c}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+2\sqrt{b+a}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+2\sqrt{b+c}\right)^3}\le\frac{8}{9}\)
cho a,b,c>0; p=a+b+c Chứng minh \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Cho a,b,c là số thực dương thỏa a+b+c=3 . Chứng minh \(\frac{1}{2 +a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\ge1\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a.b.c=8
Chứng minh: \(\frac{a^2}{\sqrt{\left(1+a^3\right).\left(1+b^3\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(1+b^3\right).\left(1+c^3\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(1+c^3\right).\left(1+a^3\right)}}\ge\frac{4}{3}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh \(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)
Bài 1 : Với a;b;c là những số thực thỏa mãn: ab+bc+ac=abc+a+b+c
với điều kiện \(3+ab\ne2;3+bc\ne2b+c;3+ac\ne2c+a\)
CMR : \(\frac{1}{3+ab-\left(2a+b\right)}+\frac{1}{3+bc-\left(2b+c\right)}+\frac{1}{3+ac-\left(2c+a\right)}=1\)
Bài 2 : cho a,b,c>=0, chứng minh (1+a)(1+b)(1+c)>= \(\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: \(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=12\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\le\frac{1}{6}\)
Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=2\\a^2+b^2+c^2=2\end{matrix}\right.\)
Chứng minh rằng:
\(a\sqrt{\frac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}+b\sqrt{\frac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}+c\sqrt{\frac{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{1+c^2}}\)
