Question

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác . 

CMR : \(\Sigma\dfrac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}< 2\sqrt[3]{4}\)

Answer 1

\(\left(b^3+c^3\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\ge\left(b+c\right)^3\)

\(\Rightarrow b^3+c^3\ge\dfrac{\left(b+c\right)^3}{4}\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}\le\dfrac{a\sqrt[3]{4}}{b+c}\)

Tương tự và cộng lại:

\(VT\le\sqrt[3]{4}\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)< \sqrt[3]{4}\left(\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}\right)=2\sqrt[3]{4}\)