Question

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác.

Chứng minh rằng: (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) <= abc

Answer 1

Có:

\(1.\)\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-b^2+2bc-c^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\)

\(2.\)\(\left(-a+b+c\right)\left(a+b-c\right)=-a^2+b^2-c^2+2ac\)

\(\Rightarrow\left(-a+b+c\right)\left(a+b-c\right)=b^2-\left(a-c\right)^2\le b^2\)

\(3.\)\(\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)=-a^2-b^2+c^2+2ab\)

\(\Rightarrow\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\)

Nhân từng vế 3 bất đẳng thức trên

\(\Rightarrow\left[\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\right]^2\le a^2b^2c^2\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Bất đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)