\(\left(a+2b\right)^2=\left(a+\sqrt{2}.\sqrt{2}b\right)^2\le3\left(a^2+2b^2\right)=9c^2\)
\(\Rightarrow a+2b\le3c\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn :ab>1.CMR:\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\)≥\(\frac{2}{1+ab}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:\(a^4+b^4+c^4=3\).CMR:\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)≥\(\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:a+b+c=1.CMR:\(\frac{ab+c}{a+b}+\frac{bc+a}{b+c}+\frac{ac+b}{a+c}\)≥2
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:ab+bc+ca=2abc.CMR:\(\frac{1}{a\left(2a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2c-1\right)^2}\)≥\(\frac{1}{2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:a+b+c=3.CMR:\(\frac{1}{5a^2+ab+bc}+\frac{1}{5b^2+bc+ac}+\frac{1}{5c^2+ac+ab}\)≥\(\frac{3}{7}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:a+b+c=3.CMR:\(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\)≤1
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn:a+2b+3c=4.CMR:\(\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2+abc\right)\)≤8
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:a+b+c=\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\).CMR:(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)≤1
Cho các số thực dương a;b;c;d thỏa mãn a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 2a. Chứng minh rằng:
\(\left(b+c+d\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\)≤ 10