§3. Các phép toán tập hợp

HV

cho a,b,c là 3 số thực sao cho (a-b)(b-c)(c-a) khác 0. Tìm GTNN của biếu thức

\(P=\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)\left(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(a-c\right)^2}\right)\)

AH
25 tháng 8 2020 lúc 9:42

Lời giải:

Ta có:

$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac=\frac{6(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)}{6}=\frac{4(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{6}$

$\geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{6}$

$\Rightarrow P\geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{6}.\left[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\right]$

Đặt $a-b=m, b-c=n$ thì $a-c=m+n$

Khi đó:

$6P\geq [m^2+n^2+(m+n)^2]\left[\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(m+n)^2}\right]$

Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz:

$[m^2+n^2+(m+n)^2]\left[\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(m+n)^2}\right]$

$\geq [\frac{(m+n)^2}{2}+(m+n)^2]\left[\frac{1}{2}(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})^2+\frac{1}{(m+n)^2}\right]$

$\geq \frac{3}{2}.(m+n)^2\left[\frac{8}{(m+n)^2}+\frac{1}{(m+n)^2}\right]$

$=\frac{3}{2}(m+n)^2.\frac{9}{(m+n)^2}=\frac{27}{2}$

$\Rightarrow 6P\geq \frac{27}{2}$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{4}$

Vậy GTNN của $P$ là $\frac{9}{4}$.

Bình luận (0)
AH
24 tháng 8 2020 lúc 18:26

Hàn Vũ: Mình nghĩ là đề đúng thì phần $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac$ phải là $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$

Bạn coi lại đề xem đã chuẩn chưa ạ?

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
LM
Xem chi tiết
DT
Xem chi tiết
CY
Xem chi tiết
AP
Xem chi tiết
NA
Xem chi tiết
HT
Xem chi tiết
CL
Xem chi tiết
TT
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết