Áp dụng BĐT cho 2 số ta có
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}}=2b\)
cm tương tự ta đc
\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2c\)
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}\ge2a\)
cộng các vế vs nhau ta đc
\(2\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
<=> \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\)
Áp dụng BĐT Cô - si với hai số \(\dfrac{ab}{c}\) và \(\dfrac{bc}{a}\) ,ta có :
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2.\sqrt{\dfrac{ab}{c}.\dfrac{bc}{a}}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2b\) (1)
Áp dụng BĐT Cô - si với hai số \(\dfrac{ca}{b}\) và \(\dfrac{bc}{a}\) ,ta có :
\(\dfrac{ca}{b}\) + \(\dfrac{bc}{a}\) \(\ge2.\sqrt{\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ca}{b}}\) ⇔ \(\dfrac{ca}{b}\) + \(\dfrac{bc}{a}\) \(\ge2c\) (2)
Áp dụng BĐT Cô - si với hai số \(\dfrac{ca}{b}\) và \(\dfrac{ab}{c}\) ,ta có :
\(\dfrac{ca}{b}\) + \(\dfrac{ab}{c}\) \(\ge2.\sqrt{\dfrac{ca}{b}.\dfrac{ab}{c}}\) ⇔ \(\dfrac{ca}{b}\) + \(\dfrac{ab}{c}\) \(\ge2a\) (3)
Từ (1)(2)(3) cộng vế với vế ,có:
\(2\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)