Question

Cho a+b+c= 1, chứng minh rằng: a²+b²+c²\(\ge\)^{\(\dfrac{1}{3}\)}

Answer 1

Giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1+1+1\right)\) \(\ge\left(a.1+b.1+c.1\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\) (Đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{1}=\dfrac{c}{1}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Answer 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :

\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)