Violympic toán 9

H24

Cho a,b,c > 0 và \(a+b+c\le\dfrac{3}{2}\). Tìm Min của:

\(A=a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

PL
26 tháng 7 2018 lúc 9:56

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :

\(a+\dfrac{1}{4a}\text{ ≥}2\sqrt{a.\dfrac{1}{4a}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)

\(b+\dfrac{1}{4b}\text{ ≥}2\sqrt{b.\dfrac{1}{4b}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)

\(c+\dfrac{1}{4c}\text{ ≥}2\sqrt{c.\dfrac{1}{4c}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)

\(a+b+c+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{ ≥}3\)

\(a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\text{ ≥}3+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{ ≥ }3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{a+b+c}\text{ ≥}3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{15}{2}\)\(A_{MIN}=\dfrac{15}{2}."="\text{⇔}a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
BA
Xem chi tiết
BA
Xem chi tiết
MD
Xem chi tiết
TN
Xem chi tiết
MS
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
BB
Xem chi tiết
DF
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết