Question

cho a,b,c >0 thoả mãn \(\sum a=1\)

CMR: \(\sum a^3+72abc\left(\sum ab\right)\le1\)

Answer 1

bài này dễ thôi bạn, quan trọng là nó hơi dài nên mình không có hứng làm chi tiết

BĐT đã cho viết lại thành

\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)^2+72abc\left(ab+bc+ca\right)-\left(a+b+c\right)^5\le0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{3}{2}\left(8a^3+7a^2b+7a^2c-7ab^2-7ac^2+9b^2c+9bc^2\right)\left(b-c\right)^2-\dfrac{3}{2}\left(8b^3+7b^2c-7bc^2+9ac^2+7ab^2+9a^2c-7a^2b\right)\left(c-a\right)^2-\dfrac{3}{2}\left(9a^2b+9ab^2+7ac^2-7a^2c-7b^2c+7bc^2+8c^3\right)\left(a-b\right)^2\le0\)

Answer 2

@Akai Haruma @Unruly Kid @Lightning Farron @Nguyễn Quang Định

Answer 3

ta có \(27abc\le\left(\sum a\right)^3=\left(\sum a\right)\)

khi đó bđt <=>

\(\sum a^3+\dfrac{8}{3}\left(\sum a\right)\left(\sum ab\right)\le\sum a^3+3\left(a+b\right)\Pi=\left(\sum a\right)^3=1\)