#Đêm qua tự nhiên mơ thấy cách này, dậy làm luôn :v
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(x^2+y^2+1\right)\left(1+1+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+y^2+1}\le\dfrac{2+z^2}{\left(x+y+z\right)^2}.\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\dfrac{1}{y^2+z^2+1}\le\dfrac{2+x^2}{\left(x+y+z\right)^2};\dfrac{1}{x^2+z^2+1}\le\dfrac{2+y^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le\dfrac{x^2+y^2+z^2+6}{\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)}{\left(x+y+z\right)}=1\)
Khi \(x=y=z=1\)
Sr Phong cách này Trất'ss quá t ko theo dc nên t sẽ ghi full x,y,z nhé chỗ nào cần sửa thành a,b,c thì sửa hộ .-.
Dự đoán khi \(x=y=z=1\) thì \(T_{Max}=1\). Ta chứng minh \(T=1\) là GTLN
\(\dfrac{1}{x^2+y^2+1}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+1\right)\Rightarrow T\le\dfrac{1}{9}\left(2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)+3\right)\)
Hay cần chứng minh \(\dfrac{1}{9}\left(2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)+3\right)\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\le3=xy+yz+xz\).
\(\Leftrightarrow\left(xy+yz+xz\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\ge\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)^2\)
WLOG \(x\ge y \ge z\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^2}\le\dfrac{1}{y^2}\le\dfrac{1}{z^2}\\xy\ge yz\ge xz\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Chebyshev và AM-GM:
\(VT=\left(xy+yz+xz\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\)
\(\ge3\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}\cdot\dfrac{z}{y}\cdot\dfrac{x}{z}}=9\)
\(\Leftrightarrow9\ge\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)^2\Leftrightarrow3\ge\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\) *đúng*
Hm... mong là vậy :|