Question

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c < hoặc = 3/2

Tìm GTNN của biểu thức A = a + b + c + 1/a + 1/b + 1/c

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT SVac.xơ: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow A\geq a+b+c+\frac{9}{a+b+c}\)

Áp dụng BĐT Cô -si cho các số dương:

\((a+b+c)+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq 2\sqrt{\frac{9}{4}}=3\)

\(a+b+c\leq \frac{3}{2}\Rightarrow \frac{27}{4(a+b+c)}\geq \frac{27}{4.\frac{3}{2}}=\frac{9}{2}\)

Cộng theo vế các BĐT trên:

\(\Rightarrow A\geq a+b+c+\frac{9}{a+b+c}\ge 3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{15}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)