Question

Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn \(\dfrac{a+1}{b}+\dfrac{b+1}{a}\) là số nguyên. d là ước số của a,b Chứng minh d \(\le\sqrt{a+b}\)

Các bạn giúp mình nha :* Thanks nhiều ạ !!!!:)))))

Answer 1

Gọi $d$ là ước số (chung) của $a,b$

Đặt \(\left\{\begin{matrix} a=md\\ b=nd\end{matrix}\right.(m,n\in\mathbb{Z}^+)\)

Ta có:

\(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+a+b}{ab}\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2+(a+b)-2ab}{ab}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2+(a+b)}{ab}\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^2+a+b\vdots ab\)

\(\Leftrightarrow (md+nd)^2+md+nd\vdots mnd^2\)

\(\Leftrightarrow d(m+n)^2+m+n\vdots mnd\)

\(\Rightarrow d(m+n)^2+m+n\vdots d\Rightarrow m+n\vdots d\)

Mà \(m+n\neq 0\). Do đó suy ra \(m+n\geq d\)

\(\Rightarrow d(m+n)\geq d^2\) hay \(a+b\geq d^2\Rightarrow d\leq \sqrt{a+b}\)

Ta có đpcm.