Tuyển Cộng tác viên Hoc24 nhiệm kì 26 tại đây: https://forms.gle/dK3zGK3LHFrgvTkJ6

Ôn tập cuối năm phần số học

PD

Cho a,b > 0 chứng minh rằng : \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\)\(\frac{4}{a+b}\)

NN
29 tháng 4 2019 lúc 22:31

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\) (vì xy(x+y) >0 với x,y > 0)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( Đúng)

Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Bình luận (0)
AH
29 tháng 4 2019 lúc 22:11

Lời giải:

Xét hiệu:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\)

\(=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geq 0, \forall a,b>0\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

Bình luận (0)
ND
30 tháng 4 2019 lúc 6:04

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
ML
Xem chi tiết
NB
Xem chi tiết
TF
Xem chi tiết
VH
Xem chi tiết
PH
Xem chi tiết
TF
Xem chi tiết
SV
Xem chi tiết
TV
Xem chi tiết
MC
Xem chi tiết