\(A=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)
\(A=\frac{1}{4}\left(a+2b+3c\right)+\left(\frac{3}{4}a+\frac{3}{a}\right)+\left(\frac{1}{2}b+\frac{9}{2b}\right)+\left(\frac{1}{4}c+\frac{4}{c}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A\ge\frac{1}{4}\left(a+2b+3c\right)+2.\sqrt{\frac{3}{4}a.\frac{3}{a}}+2.\sqrt{\frac{1}{2}b.\frac{9}{2b}}+2.\sqrt{\frac{1}{4}c.\frac{4}{c}}\)
\(\ge\frac{1}{4}.20+\frac{2.3}{2}+\frac{2.3}{2}+2=5+3+3+2=13\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=2 ; b=3 ; c=4
KL:........................................................
\(A=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)
\(=\left(\frac{3}{a}+\frac{3a}{4}\right)+\left(\frac{9}{2b}+\frac{b}{2}\right)+\left(\frac{4}{c}+\frac{c}{4}\right)+\frac{1}{4}\left(a+2b+3c\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3}{a}\cdot\frac{3a}{4}}+2\sqrt{\frac{9}{2b}\cdot\frac{b}{2}}+2\sqrt{\frac{4}{c}\cdot\frac{c}{4}}+\frac{1}{4}\cdot20\)
\(=2\cdot\frac{3}{2}+2\cdot\frac{3}{2}+2\cdot1+5=3+3+2+5=13\)
Vậy min A = 13 khi a = 2; b = 3; c = 4
Bài này dùng chọn điểm rơi thôi:
Tìm hướng giải
Ta dự đoán xảy ra cực trị tại a = 2, b = 3; c = 4
Ta tìm k sao cho: \(\frac{3}{a}=\frac{a}{k}\Leftrightarrow\frac{3}{2}=\frac{2}{k}\Leftrightarrow k=\frac{4}{3}\) (thay điểm rơi vào)
Do đó ta sẽ dùng ghép \(\frac{3}{a}+\frac{3a}{4}\) để dùng cô si (AM-GM)
Tương tự: \(\frac{9}{2b}=\frac{2b}{k}\Leftrightarrow\frac{9}{6}=\frac{6}{k}\Leftrightarrow k=4\) suy ra ghép \(\frac{9}{2b}+\frac{b}{2}\) rồi dùng Cô si.
Và \(\frac{4}{c}=\frac{c}{k}\Leftrightarrow\frac{4}{4}=\frac{4}{k}\Leftrightarrow k=4\) suy ra ghép \(\frac{4}{c}+\frac{c}{4}\) rồi dùng Cô si.
Lời giải
Dựa vào phần tìm hướng giải,ta có cách tách như sau:
\(A=\left(\frac{3}{a}+\frac{3a}{4}\right)+\left(\frac{9}{2b}+\frac{b}{2}\right)+\left(\frac{4}{c}+\frac{c}{4}\right)+\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+\frac{3c}{4}\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3}{a}.\frac{3a}{4}}+2\sqrt{\frac{9}{2b}.\frac{b}{2}}+2\sqrt{\frac{4}{c}.\frac{c}{4}}+\frac{1}{4}\left(a+2b+3c\right)\)
\(\ge3+3+2+\frac{1}{4}.20=13\)
Vậy \(A_{min}=13\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\\c=4\end{matrix}\right.\)