Violympic toán 9

HC

Cho 3 số dương a,b,c và abc=1. Chứng minh \(\dfrac{b+c}{\sqrt{a}}+\dfrac{a+c}{\sqrt{b}}+\dfrac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)

HM
25 tháng 12 2019 lúc 12:50

:)

We have:

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{b+c}{\sqrt{a}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{2\sqrt{a}}\ge\frac{\left[2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\right]^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

Now we let's verify

\(2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge3\)

Consider

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\)

Sign '=' happening when \(a=b=c=1\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
NH
Xem chi tiết
NT
Xem chi tiết
NT
Xem chi tiết
TT
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
MY
Xem chi tiết
PT
Xem chi tiết
TT
Xem chi tiết
BB
Xem chi tiết