Question

Cho 3 số a,b,c dương. Chứng minh:

\(\sqrt{\dfrac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{c^3}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{a^3}}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(\left(\sqrt{\frac{a}{b}},\sqrt{\frac{b}{c}},\sqrt{\frac{c}{a}}\right)=(x,y,z)\). BĐT cần chứng minh chuyển về:

\(x^3+y^3+z^3\geq x^2+y^2+z^2\) với \(xyz=1\)

Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\((x^3+y^3+z^3)(x+y+z)\geq (x^2+y^2+z^2)^2\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x+y+z}\)(1)

Theo BĐT AM-GM:

\(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(xy+yz+xz)\)

\(\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\)

\(\Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2)\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\geq \frac{(x+y+z).3\sqrt[3]{xyz}}{3}=x+y+z\) (2)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\geq x^2+y^2+z^2\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c\)