Question

Cho 2 số dương a,b và số c khác 0 thỏa điều kiện \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\).

CMR : \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)

Answer 1

Lời giải:

Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow ab+bc+ac=0\)

Khi đó:

\((\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c})^2=a+c+b+c+2\sqrt{(a+c)(b+c)}\)

\(=a+b+2c+2\sqrt{ab+ac+bc+c^2}=a+b+2c+2\sqrt{c^2}\)

\(=a+b+2c+2|c|\)

Vì $a,b$ dương nên \(\frac{-1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow 2|c|=-2c\)

Do đó:

\((\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c})^2=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+(-2c)=a+b\)

\(\Rightarrow \sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}=\sqrt{a+b}\)