Question

Cho 2 điểm B,C cố định và điểm A di động sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao AD,BE,CF giao nhau tại H, AH giao EF tại K 

a) CM: Tam giác EHC đồng dạng với Tam giác FHB

b) Góc EFC= góc EBC

c) Góc BFD=góc ACB

d) CM: AD.HK=AK.HD

e) TÌm điều kiện để AD.HD đạt giá trị lớn nhất

Answer 1

a) Xét ΔEHC vuông tại E và ΔFHB vuông tại F có 

\(\widehat{EHC}=\widehat{FHB}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEHC\(\sim\)ΔFHB(g-g)

b) Xét tứ giác BFEC có 

\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Suy ra: \(\widehat{EFC}=\widehat{EBC}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

c) Xét ΔADB vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có 

\(\widehat{FBD}\) chung

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔCFB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BD}{BF}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(\dfrac{BA}{BD}=\dfrac{BC}{BF}\)

Xét ΔBAC và ΔBDF có 

\(\dfrac{BA}{BD}=\dfrac{BC}{BF}\)(cmt)

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔBAC\(\sim\)ΔBDF(C-g-c)

Suy ra: \(\widehat{ACB}=\widehat{BFD}\)(hai góc tương ứng)