\(\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{1+t}-\frac{34}{33}=\frac{-35t^3+97t^2-102t+96}{33\left(t+1\right)\left(2t^2+3\right)}=\frac{\left(2-t\right)\left(35t^2-27t+48\right)}{33\left(t+1\right)\left(2t^2+3\right)}\ge0\) \(\forall t\in\left[1;2\right]\)
\(\Rightarrow\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{1+t}\ge\frac{34}{33}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(t=2\)
Chứng minh các BĐT sau:
a) Cho 1 ≤ t ≤ 2. CMR :\(\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{1+t}\)≤ \(\frac{34}{33}\)
b,Cho x , y > 0 thỏa mãn x + y = 1 . Chứng minh rằng: 3(3 x - 2)2 +\(\frac{8x}{y}\) ≥ 7
c) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta luôn có: \(\frac{a^2b}{2a^3+b^3}+\frac{2}{3}\) ≥ \(\frac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}\)
a) Cho 1 \(\le\) t \(\le\) 2. CMR \(\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{1+t}\ge\frac{33}{34}\)
Chứng minh các bất đẳng thức sau bằng cách biến đổi tương đương:
a) Cho 1\(\le t\le\) 2. CMR: \(\frac{t^2}{2.t^2+3}+\frac{2}{1+t}\ge\frac{34}{33}\)
b) Chứng minh với mọi số duong a, b ta luôn có \(\frac{a^2b}{2a^3+b^3}+\frac{2}{3}\ge\frac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}\)
giải bất phương trình : \(\frac{\left(2t+1\right)^2}{4}+\frac{\left(1-t\right)3t}{3}< \frac{5t}{4}+1\)
Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz
Áp dụng tính giá trị biểu thức \(M=\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\) biết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
Bài 1:
a) Cho x>y>0 và \(\frac{x^2+y^2}{xy}\)= \(\frac{10}{3}\). Tính giá trị của biểu thức M=\(\frac{x-y}{x+y}\)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A= \(\frac{5x^2-x+1}{x^2}\), x≠0
Bài 2: Chứng minh rằng:
\(\frac{x-y}{1+xy}\)+\(\frac{y-z}{1+yz}+\frac{z-x}{1+zx}=\frac{x-y}{1+xy}\cdot\frac{y-z}{1+yz}\cdot\frac{z-x}{1+zx}\)
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) P= x2+3x+3
b) Q= x2+2y2+2xy-2y
Cho a,b,c khác 0 ,a+ b +c=0
Chứng minh :\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)Tính giá trị biểu thức P=\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\)
1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho : 4n3+n+3 chia hết cho 2n2+n+1
2. TÌm các cặp số nguyên (x;y) sao cho : 3x2-y2-2xy-2x-2y+40=0
3. Cho ba số thực dương a,b,c , chứng minh:
\(\frac{3}{2}\le\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\)
Chứng minh: \(a^3+b^3+c^3=3abc\) thì a+b+c=0 hoặc a=b=c. Áp dụng cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\). Tính giá trị của biểu thức: \(A=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\)
