Question

cho 0<=a<b<c<=2

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P\geq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}\right)^2+\frac{1}{(a-c)^2}=\frac{(c-a)^2}{2(b-a)^2(c-b)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\)

Đặt $b-a=x; c-b=y(x,y>0)$ thì $c-a=x+y$. Khi đó: $P\geq \frac{(x+y)^2}{2x^2y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}$

Vì $0\leq a< c\leq 2\Rightarrow x+y=c-a\in (0;2]$

$\Rightarrow (x+y)^2\leq 4$

$\Rightarrow 4xy\leq (x+y)^2\leq 4\Rightarrow xy\leq 1$

Do đó:

$P=\frac{7(x+y)^2}{16x^2y^2}+\frac{(x+y)^2}{16x^2y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}\geq \frac{7.4xy}{16x^2y^2}+2\sqrt{\frac{1}{16x^2y^2}}$

$=\frac{7}{4xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{9}{4xy}\geq \frac{9}{4}$ do $xy\leq 1$

Vậy $P_{\min}=\frac{9}{4}$