Bổ đề 1: Với m, n < 1 ta có bất đẳng thức:
\(\frac{1}{1+m^2}+\frac{1}{1+n^2}\le\frac{2}{1+mn}\).
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với: \(\left(mn-1\right)\left(m-n\right)^2\le0\) (luôn đúng).
Bổ đề 2: Với m, n, p < 1 ta có bất đẳng thức:
\(\frac{1}{1+m^3}+\frac{1}{1+n^3}+\frac{1}{1+p^3}\le\frac{3}{1+mnp}\left(2\right)\).
Thật vậy, áp dụng bổ đề (1) ta có:
\(VT_{\left(2\right)}=\left(\frac{1}{1+m^3}+\frac{1}{1+n^3}\right)+\left(\frac{1}{1+p^3}+\frac{1}{1+mnp}\right)-\frac{1}{1+mnp}\le\frac{2}{1+\sqrt{m^3n^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{mnp^4}}-\frac{1}{1+mnp}\le\frac{4}{1+\sqrt[4]{m^3n^3.mnp^4}}-\frac{1}{1+mnp}=\frac{4}{1+mnp}-\frac{1}{1+mnp}=\frac{3}{1+mnp}\left(đpcm\right)\).
Quay trở lại bài toán.
Đặt \(\left(\sqrt[3]{a},\sqrt[3]{b},\sqrt[3]{c}\right)=\left(x,y,z\right)\). Ta có: \(0< x,y,z< 1\).
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{1+y^3+z^3}+\frac{1}{1+z^3+x^3}\le\frac{3}{1+2xyz}\left(1\right)\).
Áp dụng BĐT AM - GM và bổ đề 2 ta có: \(VT_{\left(1\right)}\le\frac{1}{1+\left(\sqrt[3]{2}\sqrt{xy}\right)^3}+\frac{1}{1+\left(\sqrt[3]{2}\sqrt{yz}\right)^3}+\frac{1}{1+\left(\sqrt[3]{2}\sqrt{zx}\right)^3}\le\frac{3}{1+\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2}\sqrt{xy.yz.zx}}=\frac{3}{1+2xyz}=VP_{\left(1\right)}\left(đpcm\right)\)
Bạn bổ sung cho mình thêm điều kiện ở hai bổ đề:
Bổ đề 1: Thêm m, n > 0.
Bổ đề 2: Thêm m, n, p > 0.
Hồng Phúc 2 bổ đề trên là 2 bổ đề mình biết từ trước. Mình lười nghĩ nên áp dụng luôn (Nhưng cách hơi dài).