Chm bđt:
\(\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2\le n\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)\)
Chứng minh rằng với mọi số dương \(a_1,a_2,...,a_n\) ta luôn có :
\(a_1^{\dfrac{1}{2}}+a^{\dfrac{2}{3}}_2+...+a_n^{\dfrac{n}{n+1}}\le a_1+a_2+...+a_n+\sqrt{\dfrac{2\left(\pi^2-3\right)}{9}\left(a_1+a_2+...+a_n\right)}\)
Cho \(a_1,a_2,..,a_n\) là các số nguyên dương và n>1.
Đặt \(A=a_1a_2...a_n,\) \(A_i=\dfrac{A}{a_i}\left(i=\overline{1,n}\right)\). CM các đẳng thức sau:
a) \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=A\)
b) \(\left[a_1,a_2,..,a_n\right]\left(A_1,A_2,...,A_n\right)=A\)
Cho a1,a2,...,an thuộc {0;1} và a1+a2+...+an≤1.
CMR: \(\frac{a_1.a_2....a_n}{\left(1-a_1\right)\left(1-a_2\right)...\left(1-a_n\right)}\le\frac{1}{\left(n-1\right)^n}\)
cho 2n số thực : \(a_1,a_2,...,a_n;b_1,b_2,...,b_n\)
CMR : \(\left|a_1b_1+...+a_nb_n\right|\le\sqrt{\left(a_1^2+...+a_n^2\right)\left(b_1^2+...+b_n^2\right)}\)
1. Cho \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\) , trong đó: \(x,y,z>0\)
Chm: \(x=y=z\)
2. Cho \(a_1,a_2,...,a_n>0\) và \(a_1a_2...a_n=1\) Chm: \(\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)...\left(1+a_n\right)\ge2^n\)
3. Chm \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge2\sqrt{2\left(a+b\right)\sqrt{ab}}\) \(\left(a,b\ge0\right)\)
Cho \(a_1;a_2;...a_n\ge0\) và \(a_1.a_2.a_3...a_n=1\)
CMR : \(\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)+...+\left(1+a_n\right)\ge2\)
Bài 2: (5,0 điểm). Cho n số thực dương \(a_1,a_2,..,a_n\left(n\ge2\right)\). Gọi \(a=min\left\{a_1,a_2,...,a_n\right\}\)
Chứng minh: \(\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_n}{a_1}\le n+\frac{\left(a_1-a\right)^2+\left(a_2-a\right)^2+...\left(a_n-a\right)^2}{a^2}\)
Chứng minh rằng: \(\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+...+\frac{a_n}{b_n}\ge n\left(\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{b_1+b_2+b_3+...+b_n}\right)\)
Với \(a_1,a_2...,a_n;b_1,b_2...,b_n>0\)
