Question

Câu I.

Cho hai biểu thức \(A=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{x^2}\) và \(B=\left(\dfrac{4x}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-3\sqrt{x}+2}\right)\times\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^2}\) với \(x\ge0,x\ne4.\)

1) Tính giá trị của A tại x = 9.

2) Rút gọn B.

3) Tìm x để B < A.

Câu II.

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai đội công nhân A và B cùng nhau làm một công việc thì hoàn thành trong 16 ngày. Nếu đội A làm trong 4 ngày rồi nghỉ, và tiếp theo đội B làm 3 ngày thì cả hai hoàn thành được \(\dfrac{11}{48}\) công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì làm xong công việc đó trong mấy ngày?

2) Một hình trụ có chiều cao bằng 2 lần bán kính đáy. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó biết thể tích của hình trụ là 128π (cm³).

Câu III. 

1) Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+\dfrac{1}{2x+3y}=2\\2x-4y+\dfrac{3}{2x+3y}=3\end{matrix}\right.\)

2) Cho phương trình \(x^2-\left(m-3\right)x+2m-11=0\) ( với m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x₂ là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông với cạnh huyền bằng 4.

Câu IV.

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) và AC > BC. Gọi AD, BE, CF là ba đường cao, H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, AC. Tia CO cắt DE tại P.

1) Chứng minh rằng tứ giác ABDE nội tiếp và △ABD đồng dạng với △CON.

2) Chứng minh rằng CP⊥DE và \(\widehat{FCP}=\widehat{ABC}-\widehat{CAB}.\)

3) Chứng minh rằng \(\widehat{MNF}=\widehat{FCP}\) và tứ giác FMPD nội tiếp.

Câu V.

Giải phương trình: \(\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}\right).\left(\sqrt{4-x}+1\right)=2\).

 

Answer 1

Bài 1. ĐKXĐ thêm x ≠ 1 nữa ạ

1) Với x = 9 tmđk, thay vào A ta được : \(A=\dfrac{2\sqrt{9}+1}{9^2}=\dfrac{7}{81}\)

2) \(B=\left[\dfrac{4x}{\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right]\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^2}\)

\(=\dfrac{4x-1}{\sqrt{x}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^2}=\dfrac{4x-1}{x^2}\)

3) Để B < A thì \(\dfrac{4x-1}{x^2}< \dfrac{2\sqrt{x}+1}{x^2}\)

<=> \(\dfrac{4x-1}{x^2}-\dfrac{2\sqrt{x}+1}{x^2}< 0\)

<=> \(\dfrac{4x-2\sqrt{x}-2}{x^2}< 0\)

Vì x² > 0 ∀ x

=> \(4x-2\sqrt{x}-2< 0\)

<=> \(2x-\sqrt{x}-1< 0\)

<=> \(\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)< 0\)

Vì \(2\sqrt{x}+1\ge1>0\forall x\ge0\)

=> \(\sqrt{x}-1< 0\)<=> x < 1

Vậy với x < 1 thì B < A

Answer 2

Câu 3 : 

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+\dfrac{1}{2x+3y}=2\\2x-4y+\dfrac{3}{2x+3y}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2y+\dfrac{1}{2x+3y}=2\\2\left(x-2y\right)+\dfrac{3}{2x+3y}=3\end{matrix}\right.\)

Đặt \(x-2y=t;\dfrac{1}{2x+3y}=z\)

Hệ phương trình tương đương 

\(\left\{{}\begin{matrix}t+z=2\\2t+3z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=2-z\left(1\right)\\2t+3z=3\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Thế (1) vào (2) ta được : \(2\left(2-z\right)+3z=3\Leftrightarrow4-2z+3z=3\Leftrightarrow z=-1\)

\(\Rightarrow t=2-z=3\)

hay \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=3\\\dfrac{1}{2x+3y}=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3+2y\left(3\right)\\\dfrac{1}{2x+3y}=-1\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

Thế (3) vào (4) ta được : \(\dfrac{1}{2\left(3+2y\right)+3y}=-1\Leftrightarrow\dfrac{1}{6+7y}=-1\Rightarrow-6-7y=1\Leftrightarrow-7y=7\Leftrightarrow y=-1\)

\(\Rightarrow x=3-2=1\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;-1\right)\)

Answer 3

à câu trước em xin lỗi :( thiếu 

3) Kết hợp với ĐKXĐ => Với \(0\le x< 1\)thì B < A

Câu III

2) a) Ta có : Δ = b² - 4ac

= [ -(m-3) ]² - 4( 2m - 11 )

= m² - 6m + 9 - 8m + 44

= m² - 14m + 53 = ( m - 7 )² + 4 ≥ 4 > 0 ∀ m

hay pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m (đpcm)

b) Theo hệ thức Viète ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m-3\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-11\end{matrix}\right.\)

Theo định lí Pythagoras ta có :

(CGV₁)² + (CGV₂)² = CH²

<=> x₁² + x₂² = 4²

<=> ( x₁ + x₂ )² - 2x₁x₂ - 16 = 0

<=> ( m - 3 )² - 2( 2m - 11 ) - 16 = 0

<=> m² - 6m + 9 - 4m + 22 - 16 = 0

<=> m² - 10m + 15 = 0 

Δ' = b'² - ac = 25 - 15 = 0

Δ' > 0, áp dụng công thức nghiệm => m = 5 ± √10

Vậy với m = 5 ± √10 thì thỏa mãn đề bài

Answer 4

Câu III

1) \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+\dfrac{1}{2x+3y}=2\\2x-4y+\dfrac{3}{2x+3y}=3\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ : 2x khác -3y

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+\dfrac{1}{2x+3y}=2\\2\left(x-2y\right)+\dfrac{3}{2x+3y}=3\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=a\\\dfrac{1}{2x+3y}=b\end{matrix}\right.\)ta được hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\2a+3b=3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-1\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=3\\\dfrac{1}{2x+3y}=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2y=3\\2x+3y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy hpt có nghiệm ( x;y ) = ( 1 ; -1 )

Answer 5

Câu III:

2: 

a) Ta có: \(\text{Δ}=\left[-\left(m-3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(2m-11\right)\)

\(=\left(m-3\right)^2-4\left(2m-11\right)\)

\(=m^2-6m+9-8m+44\)

\(=m^2-14m+53\)

\(=m^2-14m+49+4\)

\(=\left(m-7\right)^2+4>0\forall m\)

Suy ra: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Answer 6

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai đội công nhân A và B cùng nhau làm một công việc thì hoàn thành trong 16 ngày. Nếu đội A làm trong 4 ngày rồi nghỉ, và tiếp theo đội B làm 3 ngày thì cả hai hoàn thành được \(\dfrac{11}{48}\)công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì làm xong công việc đó trong mấy ngày?

Giải

Gọi số ngày đội A làm riêng xong công việc là x

số ngày đội B xong công việc là y (điều kiện, x,y>0)

=> Năng suất đội A : \(\dfrac{1}{x}\)(công việc)

Năng suất đội B: \(\dfrac{1}{y}\) (công việc)

Do cả hai đội cùng làm thì sẽ hoàn thành trong vòng 16 ngày

=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{16}\) (1)

Nếu đội A làm trong 4 ngày rồi nghỉ, và tiếp theo đội B làm 3 ngày thì cả hai hoàn thành được \(\dfrac{11}{48}\)công việc nên ta có

\(4.\dfrac{1}{x}+3.\dfrac{1}{y}=\dfrac{11}{48}\)(2)

Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{16}\\4.\dfrac{1}{x}+3.\dfrac{1}{y}=\dfrac{11}{48}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\dfrac{1}{x}=a\)

\(\dfrac{1}{y}=b\)

Hệ phương trình trở thành: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{1}{16}\\4a+3b=\dfrac{11}{48}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{24}\\b=\dfrac{1}{48}\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{24}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{48}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=24\\y=48\end{matrix}\right.\left(tmđk\right)\)

Vậy đội 1 làm riêng trong 24 ngày thì xong

Đội 2 làm riêng trong 48 ngày thì xong

 

Answer 7

Câu 1 : 

a, Ta có : \(x=9\Rightarrow\sqrt{x}=3\)

\(A=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{x^2}=\dfrac{2.3+1}{81}=\dfrac{7}{81}\)

Vậy với x = 9 thì A = 7/81 

b, Với \(x\ge0,x\ne4\)

\(B=\left(\dfrac{4x}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-3\sqrt{x}+2}\right).\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^2}\)

\(=\left(\dfrac{4x}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right).\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^2}=\dfrac{4x-1}{\sqrt{x}-1}.\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^2}=\dfrac{4x-1}{x^2}\)

c, Ta có B < A hay \(\dfrac{4x-1}{x^2}< \dfrac{2\sqrt{x}+1}{x^2}\Rightarrow4x-2\sqrt{x}-2< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x-1\right)\left(x-1\right)< 0\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}< x< 1\)

Answer 8

Câu 1 : 

a, Ta có : \(x=9\Rightarrow\sqrt{x}=3\)

\(A=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{x^2}=\dfrac{2.3+1}{81}=\dfrac{7}{81}\)

Vậy với x = 9 thì A = 7/81 

b, Với \(x\ge0,x\ne4\)

\(B=\left(\dfrac{4x}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-3\sqrt{x}+2}\right).\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^2}\)

\(=\left(\dfrac{4x}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right).\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^2}=\dfrac{4x-1}{\sqrt{x}-1}.\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^2}=\dfrac{4x-1}{x^2}\)

c, Ta có B < A hay \(\dfrac{4x-1}{x^2}< \dfrac{2\sqrt{x}+1}{x^2}\Rightarrow4x-2\sqrt{x}-2< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x-1\right)\left(x-1\right)< 0\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}< x< 1\)

 

 

 

 

 

Answer 9

Câu I:

1: Thay x=9 vào A, ta được:

\(A=\dfrac{2\cdot\sqrt{9}+1}{9^2}=\dfrac{2\cdot3+1}{81}=\dfrac{7}{81}\)

Answer 10

Câu I:

2: Ta có: \(B=\left(\dfrac{4x}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-3\sqrt{x}+2}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^2}\)

\(=\left(\dfrac{4x}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^2}\)

\(=\dfrac{4x-1}{x^2}\)

Answer 11

Bài 1. ĐKXĐ thêm x ≠ 1 nữa ạ

1) Với x = 9 tmđk, thay vào A ta được : B=[4x(√x−1)−√x−2(√x−1)(√x−2)]⋅√x−1x2B=[4x(x−1)−x−2(x−1)(x−2)]⋅x−1x2

4x−1x2<2√x+1x24x−1x2<2x+1x2

<=> 4x−2√x−2x2<04x−2x−2x2<0

Vì x² > 0 ∀ x

=> 

<=> 

<=> 

Vì 

=> <=> x < 1

Vậy với x < 1 thì B < A

Answer 12

Câu I: 1: Thay x=9 vào A, ta được: \(A=\dfrac{2\cdot\sqrt{9}+1}{9^2}=\dfrac{2\cdot3+1}{81}=\dfrac{7}{81}\)

Answer 13

1) Với x = 9 tmđk, thay vào A ta được : B=[4x(√x−1)−√x−2(√x−1)(√x−2)]⋅√x−1x2B=[4x(x−1)−x−2(x−1)(x−2)]⋅x−1x2

4x−1x2<2√x+1x24x−1x2<2x+1x2

<=> 4x−2√x−2x2<04x−2x−2x2<0

Vì x² > 0 ∀ x

=> 

<=> 

<=> 

Vì 

=> <=> x < 1

Vậy với x < 1 thì B < A

Answer 14

Câu 3 : 

x−2y=t;12x+3y=zx−2y=t;12x+3y=z

Hệ phương trình tương đương 

{t+z=22t+3z=3⇔{t=2−z(1)2t+3z=3(2){t+z=22t+3z=3⇔{t=2−z(1)2t+3z=3(2)

Thế (1) vào (2) ta được : 

hay 12(3+2y)+3y=−1⇔16+7y=−1⇒−6−7y=1⇔−7y=7⇔y=−112(3+2y)+3y=−1⇔16+7y=−1⇒−6−7y=1⇔−7y=7⇔y=−1

Vậy 

Answer 15

Bài 1. ĐKXĐ thêm x ≠ 1 nữa ạ

1) Với x = 9 tmđk, thay vào A ta được : B=[4x(√x−1)−√x−2(√x−1)(√x−2)]⋅√x−1x2B=[4x(x−1)−x−2(x−1)(x−2)]⋅x−1x2

4x−1x2<2√x+1x24x−1x2<2x+1x2

<=> 4x−2√x−2x2<04x−2x−2x2<0

Vì x² > 0 ∀ x

=> 

<=> 

<=> 

Vì 

=> <=> x < 1

Vậy với x < 1 thì B < A