Câu 1: Giải phương trình
a)\(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}=\frac{-1}{x+4}\)
b)\(\frac{3\left(x+3\right)}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5x+9}{3}-\frac{7x-9}{4}\)
Câu 2: Cho phân thức M=\(\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}\)
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức M được xác định
b) Rút gọn M
c) Tìm giá trị của M tại x=2
d) Tìm x thuộc Z để M nhận giá trị nguyên
Câu 1:
a) ĐKXĐ: x≠-1;x≠0;x≠-4
Ta có: \(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}=-\frac{1}{x+4}\)
⇔\(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}=0\)
⇔\(\frac{x\left(x+4\right)}{\left(x+1\right)x\left(x+4\right)}-\frac{\left(x+1\right)\left(x+4\right)}{x\left(x+1\right)\left(x+4\right)}+\frac{\left(x+1\right)x}{\left(x+4\right)\left(x+1\right)x}=0\)
⇔\(x\left(x+4\right)-\left(x+1\right)\left(x+4\right)+\left(x+1\right)x=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x-\left(x^2+4x+x+4\right)+x^2+x=0\)
⇔\(x^2+4x-x^2-4x-x-4+x^2+x=0\)
⇔\(x^2-4=0\)
⇔\(\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\)
⇔\(\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy: x∈{2;-2}
b) Ta có: \(\frac{3\left(x+3\right)}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5x+9}{3}-\frac{7x-9}{4}\)
⇔\(\frac{3\left(x+3\right)}{4}+\frac{1}{2}-\frac{5x+9}{3}+\frac{7x-9}{4}=0\)
MSC=24
⇔\(\frac{3\left(x+3\right)\cdot6}{24}+\frac{12}{24}-\frac{8\left(5x+9\right)}{24}+\frac{6\left(7x-9\right)}{24}=0\)
⇔\(18\left(x+3\right)+12-8\left(5x+9\right)+6\left(7x-9\right)=0\)
⇔\(18x+54+12-40x-72+42x-54=0\)
⇔\(20x-60=0\)
⇔20x=60
⇔x=3
Vậy: x=3
Câu 2:
a) ĐKXĐ: \(x^2-1\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1\ne0\\x+1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)
Vậy: ĐKXĐ là x≠1 và x≠-1
b) Ta có: \(M=\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}\)
\(=\frac{\left(x+1\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x+1}{x-1}\)
Vậy: \(M=\frac{x+1}{x-1}\)
c) Thay x=2 vào phân thức \(M=\frac{x+1}{x-1}\), ta được
\(\frac{2+1}{2-1}=\frac{3}{1}=3\)
Vậy: 3 là giá trị của phân thức \(M=\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}\) tại x=2
d) Để phân thức \(M=\frac{x+1}{x-1}\) nhận giá trị nguyên thì
\(x+1⋮x-1\)
hay 1⋮x-1
⇔x-1∈Ư(1)
hay x-1∈{1;-1}
hay x∈{2;0}
vì x∈Z
nên x∈{2;0}
Vậy: khi x∈{2;0} thì phân thức \(M=\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}\) nhận giá trị nguyên