Câu hỏi của Kim Bắp

Question

Câu 1:

Cho (P): $y=x^2$; (d): $y=\left(2a+1\right)x-a^2$

Tìm a để đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa mãn:

$x_1-4x_2=0$

Câu 2:

Cho (P): $y=x^2$ và (...

Nguyễn Thành Trương · Accepted Answer

Câu 1.

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{align}

& {{x}^{2}}=\left( 2a+1 \right)x-{{a}^{2}} \

& \Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( 2a+1 \right)x+{{a}^{2}}=0 \

& \Delta ={{\left[ -\left( 2a+1 \right) \right]}^{2}}-4.1.{{a}^{2}}=4a+1 \

\end{align}$

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì $\Delta >0\Rightarrow 4a+1>0\Rightarrow a>-\dfrac{1}{4}$

Theo hệ thức Vi – ét, ta có: $\left\{ \begin{align}

& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2a+1\left( 1 \right) \

& {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{a}^{2}}\left( 2 \right) \

\end{align} \right.$

Theo đề bài, ta có:  ${{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=0\left( 3 \right)$

Kết hợp (1) và (3), ta được: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2a + 1\
{x_1} - 4{x_2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = \dfrac{{8a + 4}}{5}\
{x_2} = \dfrac{{2a + 1}}{5}
\end{array} \right.\left( * \right)$

Thay (*) vào (2), ta được:

$\begin{array}{l}
\left( {\dfrac{{8a + 4}}{5}} \right).\left( {\dfrac{{2a + 1}}{5}} \right) = {a^2}\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {8a + 4} \right)\left( {2a + 1} \right)}}{{25}} = {a^2}\
 \Leftrightarrow 16{a^2} + 16a + 4 = 25{a^2}\
 \Leftrightarrow 9{a^2} - 16a - 4 = 0\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 2\left( {tm} \right)\
a =  - \dfrac{2}{9}\left( {tm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$Câu trả lời: Câu 1.