Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c=x\\b+c-a=y\\c+a-b=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{x+z}{2}\\b=\frac{x+y}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{matrix}\right.\)
Đặt \(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
\(A=\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}+\frac{\frac{y+z}{2}}{x}\)
\(A=\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\)
\(A=\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}+\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A\ge6\sqrt[6]{\frac{x}{2y}.\frac{z}{2y}.\frac{x}{2z}.\frac{y}{2z}.\frac{z}{2x}.\frac{y}{2x}}=6.\frac{1}{2}=3\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z <=> a=b=c
Áp dụng BĐT AM-GM ta có $\sum \frac{a}{b+c-a} \ge 3 \sqrt[3]{ \frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}} \ge 3$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a>0\\a+b-c>0\\c+a-b>0\end{matrix}\right.\)
* Ta cm bđt : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
+ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Do đó : \(-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\le2\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le ab+bc+ca\)
+ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Do đó : \(2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
* Áp dụng bđt Cauchy Schwaz ta có :
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\) \(=\frac{a^2}{ab+ac-a^2}+\frac{b^2}{ab+bc-b^2}+\frac{c^2}{ac+bc-c^2}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)