Lời giải:
Vì $I\in (d)$ nên gọi tọa độ của $I$ là \((a,1-a)\)
Kẻ $IH$ vuông góc với $MN$ thì $H$ là trung điểm của $MN$
Do đó: \(MH=\sqrt{5}\)
\(IH=d(I,\Delta)=\frac{|a+2(1-a)+1|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|3-a|}{\sqrt{5}}\)
Vì \(M\in (\Delta), x_M=3\Rightarrow y_M=-2\)
\(\Rightarrow IM^2=(a-3)^2+(1-a+2)^2=2(a-3)^2\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(IM^2=MH^2+IH^2\)
\(\Leftrightarrow 2(a-3)^2=\frac{(a-3)^2}{5}+5\)
\( (a-3)^2=\frac{25}{9}\Rightarrow a=\frac{14}{3}\) hoặc \(a=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow I(\frac{14}{3}; \frac{-11}{3})\) hoặc \(I(\frac{4}{3}; \frac{-1}{3})\)
\(R^2=IM^2=2(a-3)^2=2.\frac{25}{9}=\frac{50}{9}\)
Vậy pt đường tròn là: \((x-\frac{14}{3})^2+(y+\frac{11}{3})^2=\frac{50}{9}\) hoặc \((x-\frac{4}{3})^2+(y+\frac{1}{3})^2=\frac{50}{9}\)