Question

Biết biểu thức \(A=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3^2}+\dfrac{6}{3^3}+...+\dfrac{2n}{3^n}\) được tính theo công thức \(A=\dfrac{a.\left(3^n-b\right)-cn}{c.3^n}\) với a,b,c là các số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau. Tính abc

Answer 1

Lời giải:

$A=\frac{2}{3}+\frac{4}{3^2}+\frac{6}{3^3}+...+\frac{2n}{3^n}$

$3A=2+\frac{4}{3}+\frac{6}{3^2}+....+\frac{2n}{3^{n-1}}$

$3A-A=2+\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+....+\frac{2}{3^{n-1}}-\frac{2n}{3^n}$

$2A=2+\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+....+\frac{2}{3^{n-1}}-\frac{2n}{3^n}$

$A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^n}$

$3A=3+1+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3^{n-2}}-\frac{n}{3^{n-1}}$

$3A-A=3-\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^{n-1}}+\frac{n}{3^n}$

$2A=3-\frac{n+1}{3^{n-1}}+\frac{n}{3^n}$

$2A=\frac{3^{n+1}-2n-3}{3^n}$

$A=\frac{3.3^n-2n-3}{2.3^n}$

$\Rightarrow a=3; b=1; c=2\Rightarrow abc=6$