Bài Tập: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Từ điểm M thuộc nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại P và Q. a) Chứng minh bốn điểm A, P, M, O cùng nằm trên một đường tròn. b) AM cắt OP tại điểm I, BM cắt OQ tại điểm K. Chứng minh MIOK là hình chữ nhật và tính tích AP.BQ theo R. c) Gọi N là giao điểm của BP và IK. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn (M khác A; B) thì tỉ số Sabn/ Sabm luôn không đổi.
a: Xét tứ giác PAOM có
góc PAO+góc PMO=180 độ
=>PAOM là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
PA,PM là tiếp tuyến
nên PA=PM và OP là phân giác của góc MOA(1)
mà OA=OM
nên OP là trung trực của AM
=>OP vuông góc AM
Xét (O) có
QM,QB là tiếp tuyến
nên QM=QB và OQ là phân giác của góc MOB(2)
mà OM=OB
nên OQ là trung trực của MB
=>OQ vuông góc MB tại K
Từ (1), (2) suy ra góc POQ=1/2*180=90 độ
Xét tứ giác MIOK có
góc MIO=góc MKO=góc IOK=90 độ
=>MIOK là hình chữ nhật
Xét ΔOPQ vuông tại O có OM là đường cao
nên MP*MQ=OM^2=R^2
=>AP*QB=OM^2=R^2 ko đổi